입체 사목

규칙·하는 법

두 사람이 번갈아, 4×4로 늘어선 막대 16개 중 하나에 구슬을 1개씩 떨어뜨립니다. 구슬은 막대의 맨 아래부터 쌓이며, 막대 1개에 4개까지 들어갑니다. 중간 높이에 놓을 수는 없고, 4개가 들어간 막대에는 떨어뜨릴 수 없습니다. 선공은 백, 후공은 흑입니다.

내 구슬 4개를 일직선으로 이으면 승리합니다. 잇는 방법은 다음 5종류이며, 모두 합쳐 76가지입니다.

• 같은 막대에 세로로 4개(16가지)
• 같은 층에서 좌우나 앞뒤로 일직선으로 4개(32가지)
• 같은 층에서 모서리에서 모서리로 대각선으로 4개(8가지)
• 층을 넘나드는 대각선으로 4개(16가지). 한 층 올라갈 때마다 좌우나 앞뒤의 옆 막대로 옮겨 가는 줄입니다
• 정육면체의 대각선 위에 4개(4가지). 모서리 막대의 1층에서 반대쪽 모서리 막대의 4층까지 나아가는 줄입니다

구슬 64개가 모두 들어가도 양쪽 모두 4개를 잇지 못하면 무승부입니다.

이 페이지의 조작 방법

게임판 오른쪽(화면 폭이 좁을 때는 게임판 아래)에서 플레이 방식을 선택합니다. ‘AI와 대결’에서 초급·중급·고급 중 하나를 누르면 내가 선공(백)이 되어 시작합니다. 후공(흑)으로 할 때는 ‘후공(흑)으로 시작하기(중급)’를 누릅니다. ‘이 기기에서 2명이 하기’에서는 기기 1대로 교대하며 둡니다.

PC에서는 막대를 클릭하면 그 막대에 구슬이 떨어집니다. 마우스를 막대에 올리면 구슬이 들어갈 위치에 반투명한 구슬이 나타납니다. 스마트폰이나 태블릿에서는 막대를 한 번 탭하면 반투명한 구슬이 나타나고, 같은 막대를 한 번 더 탭하면 구슬이 떨어집니다.

게임판을 드래그하면 시점이 돌아갑니다. 마우스 휠이나 두 손가락 핀치로 게임판에 가까이 다가가거나 멀어질 수 있습니다. 게임판 오른쪽 위의 ‘비스듬히’·‘위에서’ 버튼으로 시점을 전환합니다.

게임판 오른쪽(화면 폭이 좁을 때는 게임판 아래)에 있는 버튼 16개는 위에서 본 막대 16개입니다. 처음 시점에서 열은 왼쪽부터 A~D, 행은 건너편부터 1~4입니다. 버튼 안의 가로줄 4개는 아래부터 1~4층이며, 구슬이 들어 있는 층에 흰색이나 검은색 표시가 붙습니다. 3D 게임판에서 건너편 구슬이 내 쪽 구슬에 가려져 있을 때도 이 표시로 확인할 수 있습니다. 버튼을 누르면 그 막대에 구슬이 떨어집니다. 3D 게임판을 조작하기 어려울 때나 키보드로 둘 때(Tab 키로 선택하고 Enter 키) 사용합니다.

게임 중의 ‘한 수 무르기’는 직전의 수를 취소합니다. AI와 대결하고 있을 때는 내 이전 차례까지 되돌아갑니다. ‘다시 하기’로 처음부터 다시 하고, ‘플레이 방식 다시 선택하기’로 플레이 방식 선택으로 돌아갑니다. 친구와 대전하고 있을 때는 ‘한 수 무르기’와 ‘다시 하기’가 없습니다.

직전에 들어간 구슬 위에는 주황색 고리가 붙습니다. 4개가 이어지면 그 4개의 구슬이 금색이 되고, 조금 뒤에 결과가 나옵니다. ‘결과 닫기’를 누르면 게임판을 확인할 수 있고, ‘결과 보기’로 결과를 다시 열 수 있습니다.

‘친구와 대전(URL 보내기)’을 누르면 대전용 URL이 나옵니다. ‘URL 복사’(지원하는 기기에서는 ‘공유’도)로 상대에게 보내고, 상대가 그 URL을 열어 ‘참가하기’를 누르면 게임이 시작됩니다. URL을 만든 사람이 선공(백), 참가한 사람이 후공(흑)입니다. 게임이 끝난 뒤 ‘선후공 바꿔서 한 판 더’를 누르면 같은 상대와 이어서 대전할 수 있습니다. URL을 열어 ‘관전하기’를 누른 사람과, 2명이 모인 뒤에 ‘참가하기’를 누른 사람은 자리에 앉지 않고 게임을 보는 관전이 되며, 구슬을 떨어뜨릴 수 없습니다. 전에 참가한 브라우저와 다른 브라우저에서 URL을 다시 열면 관전이 되지만, 연결이 끊긴 내 자리의 ‘이 자리에 앉기’를 누르면 돌아갈 수 있습니다(관전하는 사람은 연결이 끊긴 사람의 자리에 이렇게 앉을 수 있습니다).

이기는 요령

모서리 막대 4개의 1층과 4층(8칸), 그리고 가운데 막대 4개의 2층과 3층(8칸)은 각각 7가지 줄에 포함됩니다. 나머지 48칸은 4가지입니다. 7가지 줄에 포함되는 칸을 많이 차지하면 내가 승리에 쓸 수 있는 줄이 늘어납니다.^[2]

4칸 중 3칸에 같은 색 구슬이 있고 나머지 1칸이 비어 있는 줄을, 여기서는 ‘3개 줄’이라고 부릅니다. 상대의 3개 줄의 남은 1칸에 다음에 떨어뜨리는 구슬이 딱 들어갈 때는, 바로 그 막대에 구슬을 떨어뜨려 막습니다.

상대의 3개 줄의 남은 1칸 바로 아래가 비어 있을 때는, 그 바로 아래 칸에 구슬이 들어가는 수를 두지 않도록 합니다. 두면 상대가 다음 수에 남은 1칸에 구슬을 떨어뜨려 이깁니다.

남은 1칸이 각각 다른 막대에 있고, 양쪽 모두 다음 구슬이 딱 들어가는 3개 줄을 2개 동시에 만들면, 상대는 한 수로 한쪽밖에 막을 수 없습니다. 상대가 그 한 수로 4개를 잇지 않는 한, 다음 수에 다른 쪽의 남은 1칸에 구슬을 떨어뜨려 이길 수 있습니다.

막대는 4층이므로, 후공(흑)이 선공(백)과 같은 막대에 매번 겹쳐 떨어뜨리면 어느 막대든 아래부터 백·흑·백·흑 순서로 채워지고, 2층과 4층은 후공의 칸이 됩니다. 그래서 후공은 남은 1칸이 2층이나 4층에 있는 3개 줄을 만들면 유리합니다. 선공은 후공이 겹쳐 떨어뜨리기만 해서는 막을 수 없는, 1층이나 3층 안의 줄을 노립니다.

입체 사목의 기원과 역사

4×4×4 정육면체에 4개를 잇는 놀이에는, 구슬을 원하는 칸에 놓을 수 있는 규칙과 이 페이지처럼 막대 아래부터 구슬을 쌓는 규칙이 있습니다. 원하는 칸에 놓을 수 있는 규칙은 틱택토(삼목)의 게임판을 키우고 차원을 늘린 놀이의 하나로서 수학 연구에서 다루어져 왔습니다.^[1][3]

틱택토는 3×3 평면에서는 두 사람이 올바르게 두면 무승부가 되고, 3×3×3 정육면체에 3개를 잇는 형태에서는 선공이 반드시 이깁니다. 구슬을 원하는 칸에 놓는 4×4×4 형태는 1980년 시점에 미국에서 상품으로 팔리고 있었습니다. 이 페이지처럼 막대 아래부터 구슬을 쌓는 형태도 미국에서 상품이 되었으며, 1968년에 등록된 상표 기록에 따르면 발매는 1967년 8월입니다.^[1][4]

원하는 칸에 놓을 수 있는 규칙에서는 선공이 올바르게 두면 반드시 이길 수 있습니다. 미국의 Oren Patashnik이 1977년에 컴퓨터를 사용해 이를 보였고, 1980년에 논문으로 발표했습니다. 계산은 예일 대학교의 컴퓨터로 약 1,500시간이 걸렸으며, Bell 연구소의 Ken Thompson이 다른 프로그램으로 결과를 확인했습니다. 1992년에는 네덜란드의 Victor Allis 등이 다른 탐색 방법으로 다시 풀었습니다.^[1][2]

이 페이지처럼 막대 아래부터 구슬을 쌓는 규칙에서는 구슬을 놓을 수 있는 칸이 아래층이 채워진 상태에 따라 정해지므로, 원하는 칸에 놓을 수 있는 규칙의 결과가 그대로 적용되지 않습니다. 이 규칙에서 선공과 후공 중 어느 쪽이 이기는지는 2020년 시점에 밝혀지지 않았습니다. 같은 해에 뮌헨 공과대학교의 연구에서 이를 풀기 위한 탐색 프로그램이 만들어졌습니다.^[3]

출처

1. Oren Patashnik〈Qubic: 4×4×4 Tic-Tac-Toe〉(Mathematics Magazine 53권 4호, 1980년)(새 탭에서 열림)
2. L. Victor Allis《Searching for Solutions in Games and Artificial Intelligence》(림뷔르흐 대학교 박사 논문, 마스트리흐트, 1994년)(새 탭에서 열림)
3. René Romen〈Towards Solving Connect Four 3D〉(뮌헨 공과대학교, 2020년)(새 탭에서 열림)
4. 미국 특허상표청(USPTO)〈상표 등록 제858,232호〉(TSDR, 1968년)(새 탭에서 열림)

자주 묻는 질문

평면 4목과 무엇이 다른가요?

평면 4목은 게임판 한 장 위에서 세로·가로·대각선으로 4개를 잇습니다. 입체 사목(4×4×4 입체 4목)에서는 4개 층 각각의 안에서 잇는 줄에 더해, 같은 막대에 세로로 쌓은 4개, 층을 넘나드는 대각선, 정육면체의 대각선도 셉니다. 잇는 방법은 모두 합쳐 76가지입니다.

입체 사목에 필승법이 있나요?

이 페이지처럼 막대 아래부터 구슬을 쌓는 규칙에서는, 선공과 후공 중 어느 쪽이 이기는지 2020년 시점에 밝혀지지 않았습니다. 구슬을 원하는 칸에 놓을 수 있는 4×4×4 규칙에서는 선공이 올바르게 두면 반드시 이길 수 있다는 것이 1980년에 발표되었습니다.

무승부가 되는 경우도 있나요?

있습니다. 구슬 64개가 모두 들어가도 양쪽 모두 4개를 잇지 못하면 무승부입니다.

AI 난이도를 선택할 수 있나요?

초급·중급·고급 3단계 중에서 선택할 수 있습니다. 초급은 수의 약 40%를 무작위로 고르고, 고급은 한 수마다 최대 약 1.5초 동안 앞의 수를 읽습니다. 후공(흑)으로 시작할 때의 AI는 중급입니다.

친구와는 어떻게 대전하나요?

‘친구와 대전(URL 보내기)’을 누르면 대전용 URL이 나옵니다. 그 URL을 메일이나 메신저 앱으로 상대에게 보내고, 상대가 열어서 ‘참가하기’를 누르면 게임이 시작됩니다. URL을 만든 사람이 선공(백), 참가한 사람이 후공(흑)입니다. 다른 사람도 같은 URL을 열어 ‘관전하기’를 누르면 자리에 앉지 않고 게임을 볼 수 있습니다. 아무도 접속하지 않은 상태가 30분 이어진 방과, 만든 지 24시간이 지난 방은 사라집니다.

스마트폰에서도 할 수 있나요?

스마트폰·태블릿·PC의 브라우저에서 할 수 있습니다. 회원가입과 앱 설치는 필요 없으며, 무료입니다. 3D 표시를 사용할 수 없는 기기에서는 게임판 오른쪽(화면 폭이 좁을 때는 게임판 아래)에 나오는 버튼 16개로 구슬을 떨어뜨려 할 수 있습니다.

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